Задача с кружка МЦНМО за 8 класс (тема занятия - инвариант): "На столе - куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?"

Я предлагаю эту задачу, но с маленькой кучей камней, малышам 1-2 класса и даже дошкольникам, как исследовательскую, не на инвариант.

"На столе лежит кучка из 23 камней. Ход состоит в том, чтобы из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней?"

Ребята пытаются следовать правилам, выбрасывать камень, делить кучки. У кого-то сразу не получается, у кого-то получается. Но, раз у кого то получилось, и он нам это продемонстрировал, значит это всё-таки возможно.

А дальше самое интересное. А если было 20 камней? Дети снова идут опытным путём: пробуют, но ни у кого не получается. 

Тогда уже я спрашиваю: а почему?
А получится ли с 15 камнями? с 14-ю?
Почему иногда получается, а иногда нет?
Сходу дать ответ, конечно, никто из первоклассников еще не готов.

"А какое самое маленькое количество камней может быть в первой кучке, чтобы всё-таки получилось по этом правилам оставить только кучи из 3 камней?"
Вот тут большая часть наших кружковцев догадываются: "Это 7 камней! Один убираем, а 6 делим на кучки 3 и 3, и всё получилось!"

И пришло время для главного вопроса: "А сколько камней надо добавить к этой куче из 7 камней, чтобы тоже всё получилось?"

Тут многие сначала ошибаются: "3 камня!" Но их поправляют уже их товарищи: "А ведь один из них мы должны выбросить. Значит 4."
"А дальше? Сколько теперь можно добавить, чтобы снова всё получилось?"

Дети уже всё поняли и довольны: "Тоже 4 камня!"

"А сможете понять - удастся ли разложить так кучу из 47 камней?" (для них это такое же большое и малопредставимое число, как для нас 1001 камень)
И практически все понимают: " 47 - это было 7 камней и к ним 10 раз добавили по 4 камня. Значит такую кучу можно разложить по нашим правилам на маленькие кучки из 3 камней."


Яков Иосифович:

Решение "для больших":

С каждой операцией число камней уменьшается на 1, а число кучек увеличивается на 1. После х операций у нас 1001-х камней и х+1 кучка. Если бы всё получилось, то 1001-х=3(х+1), 998=4х, но 998 на 4 не делится. 

 

Обновления на нашем сайте

Видеовыступления участников конференции РМЕ и Яндекса

Опубликованы видеовыступления некоторых участников конференции РМЕ и Яндекса, проходившей 18-21 марта в Москве.

Ежегодная встреча однокурсников - выпускников мехмата 1976 года.

16 июня этого года состоялась ежегодная встреча однокурсников - выпускников мехмата 1976 года.

Обучение одарённых детей математике. Геометрия. 7-й класс

Cтатья Якова Иосифовича «Обучение одарённых детей математике. Геометрия. 7-й класс» опубликована на сайте фестиваля «Открытый урок».

Результаты третьеклассников, обучающихся у Я.И. Абрамсона

Последними из прошедших в этом году олимпиад был Весенний Олимп. Организаторы затянули проверку работ сверх всех разумных сроков и, фактически, сорвали сами себе церемонию награждения, ибо дети все уже разъезжаются на каникулы. Тем не менее, только что  результаты стали, наконец, известны. Из шестисот с чем-то участников всего 2 диплома 1-ой степени.  И оба они - у Интеллектуала. 

Результаты традиционной олимпиады "Кенгуру"

Успешно выступили учащиеся школы "Интеллектуал" и в традиционной олимпиаде "Кенгуру".